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Charivari de la société contemporaine

Le rapport du monde réel et des mathématiques

4 Août 2013, 06:48am

Publié par samagace69

Le rapport du monde réel et des mathématiques

« Ce qui est incompréhensible, c’est que le monde soit compréhensible. »

Albert Einstein

 

Les hommes ont toujours voulu comprendre , au delà du chaos apparent de la réalité, les fondements de la complexité du monde qui l'entoure.

Le symbolisme religieux dans toute les cultures humaines ont permis d'interpréter cette réalité a travers le prisme du sacré avec une ou plusieurs entités divines bien distincts.

 

L'antiquité grecque avec l'émergence de mathématiciens - philosophes a permis d'amorcer un mouvement libérateur "profane" dont l'objectif est de repérer des constantes du monde réel par l'interrogation réflexive de soi et de ce monde extérieur.

Ainsi Socrate, Aristote , Platon, pour ne citer que les plus illustres ont posé les jalons de la pensée philosophique ayant pour objet la recherche de la vérité, et de la méditation sur le bien et le beau, à celle du sens de la vie, et du bonheur, mais elle consiste plus largement dans l'exercice systématique de la pensée, de la réflexion et comme un moyen de se défaire des illusions pour atteindre une plus grande liberté.

 

Ce qui est intéressant de noter est qu'à partir de cette époque , les philosophes ont commencé à s'interroger sur la nature même de mathématiques , sur son objet d'étude , sur sa relation avec le monde réel. Généralement, la réflexion philosophique sur les mathématiques s’identifie à un ensemble de questions convenues qui, lorsqu’elles ne relèvent pas purement et simplement de l’histoire de ces disciplines, sont très souvent d’ordre ontologique.

 

Quel type d’existence faut-il accorder aux objets mathématiques, se demande-t-on alors, à supposer qu’il y ait réellement un sens à parler d’objets mathématiques et qu’on soit au clair sur ce qu’on entend par là. La philosophie des mathématiques oscille dès lors rituellement entre différentes réponses possibles à cette question, toujours les mêmes, qui couvrent le spectre allant du platonisme le plus débridé à l’anti-platonisme extrême. Comme si le problème, au fond, se réduisait à : platonisme ou anti-platonisme ?

 

Platon considérait les concepts mathématiques comme des concepts "naturels" faisant partie du monde réel indépendamment des hommes qui les découvrent . De l'autre coté du champs d'interprétation , les mathématiques ne sont que le produit de l'intellect humain qui étudie les relations entre les objets réels ou fictifs et la cohérence de celles ci entre ces objets.

 

L'universalité manifeste des mathématiques et leur efficacité sont, au moins depuis l'antiquité grecque, la source de questions philosophiques et métaphysiques. L'histoire des idées est intimement liée à la réflexion sur la nature des mathématiques. On peut distinguer trois grandes questions principales :

Quel est le mode d'existence des objets mathématiques ? Sont-ils réels et, le cas échéant, de quelle réalité s'agit-il ? N'est-ce qu'une production purement raisonnée de la pensée ?

Pourquoi les mathématiques semblent-elles universelles ?

Pourquoi les mathématiques, qui relèvent d'une création de l'esprit, permettent-elles de comprendre un aspect de l'univers ?

Le développement d'autres disciplines (sciences cognitives, philosophie de l'esprit…) soulève d'autres questions du type :

La structure de la pensée humaine impose-t-elle des contraintes, voire des limites, à la forme et au développement des mathématiques ? (Les mathématiques que nous connaissons seraient-elles partiellement ou fondamentalement différentes si elles étaient conçues par un esprit à la structure ou aux capacités différentes ?)

Plus prosaïquement : seul l'homme est-il capable de mathématiques ? Quelles sont les apports possibles, limites d'une machine ?

 

Sans entrer dans le détail l'histoire des mathématiques , on peut retenir quelques remarques issues des mathématiques modernes du XX siècle :

 

L'étude de la cohérence des mathématiques ont amené la plupart des mathématiciens a évacuer la notion du sens physique allant jusqu'à même éluder la notion de vérité d'un système et sa validité dans le monde réel. Ce qui importe est de construire système formel qu'on appelle de 1er ordre consistent ,c'est à dire un système sans contradiction et définir par la suite un système de déductions cohérents pour bâtir une théorie mathématique "raisonnable" c'est à dire vérifiable par autrui a partir d'un schéma de calcul (notion de dérivabilité des énoncés).

 

A vrai dire le niveau d'abstraction de tels systèmes s'éloigne définitivement du sens commun et de la vision euclidienne de notre monde.

 

Bien plus ou bien pire , le mathématicien Kurt Goëdel a démontré , grâce aux notions probabilistes, que son théorème "l’incomplétude de Gödel" est beaucoup plus grave et incontournable que tout ce que l’on pouvait craindre:

 

Découvert en 1930, le théorème d’incomplétude de Gödel affirme qu’en définissant de façon raisonnable ce que sont les preuves mathématiques, alors certaines vérités mathématiques échappent nécessairement à ces preuves.

Le mot « raisonnable » correspond à trois exigences.

D’abord, on ne souhaite pas que les preuves conduisent à démontrer des affirmations contradictoires. Ensuite, on veut que les preuves permettent de démontrer les énoncés élémentaires vrais de l’arithmétique, par exemple que 25 est un carré, ou qu’il existe une infinité de nombres premiers. Enfin, si quelqu’un utilise cette définition des preuves pour démontrer un théorème, on exige que la preuve soit vérifiable sans risque d’erreur et d’une manière automatique. Ainsi, « raisonnable » pour un système de preuves signifie consistant, permettant de mener les raisonnements d’arithmétique élémentaire et mécanisable.

 

L’incomplétude démontrée par Gödel est avant tout une déception : elle affirme qu’avec une notion raisonnable de preuve mathématique, certaines vérités mathématiques ne pourront pas être prouvées :

tout système raisonnable de preuves possède des trous. À y regarder de près, l’incomplétude de Gödel affirme un peu plus que la présence d’un trou dans tout système de preuves imaginables, elle affirme une « incomplétabilité ».

Une conséquence directe du théorème de Gödel est qu’en ajoutant des vérités comme axiomes à l’aide d’un algorithme – qui éventuellement en ajoute progressivement une infinité –jamais on ne complète vraiment. Même après l’ajout, par un algorithme, d’une infinité d’axiomes à un système de preuves incomplet, le nouveau système de preuves obtenu, bien que plus complet, ne le sera pas totalement : il existera encore des énoncés mathématiques vrais qui ne seront pas démontrables avec la notion élargie de preuves.

 

Que se passe-t-il si l’on ajoute des axiomes au système que l’on veut compléter en utilisant le hasard ? Le hasard permettrait-il de compléter totalement ?

Concrètement, l’idée est d’utiliser des algorithmes probabilistes, c’est-à-dire des procédés de calcul qui, de temps en temps, décident de l’opération à effectuer en tirant au hasard un bit 0 ou 1,en lançant une pièce de monnaie par exemple.

La réponse à cette question subtile a été brillamment élucidée par Leonid Levin.

L. Levin a montré que même en utilisant un algorithme probabiliste, on ne réussit jamais à compléter un système raisonnable de preuves. C’est notre première leçon sur les rapports du hasard et de l’incomplétude : le hasard ne permet pas de boucher le trou de l’incomplétude.

 

Dans cet esprit, ce résultat d’incomplétabilité possède une forme étendue. Aucun système physique (même s’il fonctionne durant un temps infini) ne pourra compléter un système raisonnable de preuves : soit il donnera des contradictions, soit il laissera des trous. L.Levin conjecture un principe d’indépendance entre la physique et le monde mathématique s’appuyant sur une loi de conservation de l’information : aucun procédé physique ne crée de l’information avec suffisamment d’efficacité pour compléter un système incomplet. Pour lui, cette loi est aussi fondamentale que d’autres lois de conservation de la physique.

 

Cette seconde série de rapports entre probabilités et incomplétude aggrave ce que Gödel et L. Levin indiquaient sur la difficulté d’accès à la vérité mathématique.

Les résultats et conceptions de L. Levin impliquent que le monde des vérités mathématiques est inaccessible depuis notre monde réel, soumis aux lois de la physique qui ne nous permettront jamais autre chose que l’utilisation de systèmes gravement incomplets et impossibles à compléter. Les résultats découverts par C. Calude et ses collègues signifient, de plus, que ces systèmes incomplets dont nous sommes obligés de nous satisfaire ne donnent accès, dans chaque cas particulier, qu’à une partie infinitésimale du monde mathématique !

 

Le hasard et l’incomplétude sont deux formes différentes de l’ignorance forcée que la science moderne a dû admettre et qu’elle essaie de comprendre. Leurs liens sont puissants, nombreux et subtils. À chaque fois qu’on arrive à élucider un de ces liens, on découvre des formes renforcées du résultat de Gödel de 1930.

 

Le vieux théorème d’incomplétude, loin de décrire un innocent phénomène ne concernant les mathématiques que de loin comme cela a parfois été dit, se révèle, année après année, plus profond, plus grave et plus fondamental, en même temps qu’il nous force à revoir nos idées sur la nature réelle des mathématiques et de leurs rapports avec la physique.

« Ce qui est incompréhensible, c’est que le monde soit compréhensible. »

Albert Einstein

 

Les hommes ont toujours voulu comprendre , au delà du chaos apparent de la réalité, les fondements de la complexité du monde qui l'entoure.

Le symbolisme religieux dans toute les cultures humaines ont permis d'interpréter cette réalité a travers le prisme du sacré avec une ou plusieurs entités divines bien distincts.

 

L'antiquité grecque avec l'émergence de mathématiciens - philosophes a permis d'amorcer un mouvement libérateur "profane" dont l'objectif est de repérer des constantes du monde réel par l'interrogation réflexive de soi et de ce monde extérieur.

Ainsi Socrate, Aristote , Platon, pour ne citer que les plus illustres ont posé les jalons de la pensée philosophique ayant pour objet la recherche de la vérité, et de la méditation sur le bien et le beau, à celle du sens de la vie, et du bonheur, mais elle consiste plus largement dans l'exercice systématique de la pensée, de la réflexion et comme un moyen de se défaire des illusions pour atteindre une plus grande liberté.

 

Ce qui est intéressant de noter est qu'à partir de cette époque , les philosophes ont commencé à s'interroger sur la nature même de mathématiques , sur son objet d'étude , sur sa relation avec le monde réel. Généralement, la réflexion philosophique sur les mathématiques s’identifie à un ensemble de questions convenues qui, lorsqu’elles ne relèvent pas purement et simplement de l’histoire de ces disciplines, sont très souvent d’ordre ontologique.

 

Quel type d’existence faut-il accorder aux objets mathématiques, se demande-t-on alors, à supposer qu’il y ait réellement un sens à parler d’objets mathématiques et qu’on soit au clair sur ce qu’on entend par là. La philosophie des mathématiques oscille dès lors rituellement entre différentes réponses possibles à cette question, toujours les mêmes, qui couvrent le spectre allant du platonisme le plus débridé à l’anti-platonisme extrême. Comme si le problème, au fond, se réduisait à : platonisme ou anti-platonisme ?

 

Platon considérait les concepts mathématiques comme des concepts "naturels" faisant partie du monde réel indépendamment des hommes qui les découvrent . De l'autre coté du champs d'interprétation , les mathématiques ne sont que le produit de l'intellect humain qui étudie les relations entre les objets réels ou fictifs et la cohérence de celles ci entre ces objets.

 

L'universalité manifeste des mathématiques et leur efficacité sont, au moins depuis l'antiquité grecque, la source de questions philosophiques et métaphysiques. L'histoire des idées est intimement liée à la réflexion sur la nature des mathématiques. On peut distinguer trois grandes questions principales :

Quel est le mode d'existence des objets mathématiques ? Sont-ils réels et, le cas échéant, de quelle réalité s'agit-il ? N'est-ce qu'une production purement raisonnée de la pensée ?

Pourquoi les mathématiques semblent-elles universelles ?

Pourquoi les mathématiques, qui relèvent d'une création de l'esprit, permettent-elles de comprendre un aspect de l'univers ?

Le développement d'autres disciplines (sciences cognitives, philosophie de l'esprit…) soulève d'autres questions du type :

La structure de la pensée humaine impose-t-elle des contraintes, voire des limites, à la forme et au développement des mathématiques ? (Les mathématiques que nous connaissons seraient-elles partiellement ou fondamentalement différentes si elles étaient conçues par un esprit à la structure ou aux capacités différentes ?)

Plus prosaïquement : seul l'homme est-il capable de mathématiques ? Quelles sont les apports possibles, limites d'une machine ?

 

Sans entrer dans le détail l'histoire des mathématiques , on peut retenir quelques remarques issues des mathématiques modernes du XX siècle :

 

L'étude de la cohérence des mathématiques ont amené la plupart des mathématiciens a évacuer la notion du sens physique allant jusqu'à même éluder la notion de vérité d'un système et sa validité dans le monde réel. Ce qui importe est de construire système formel qu'on appelle de 1er ordre consistent ,c'est à dire un système sans contradiction et définir par la suite un système de déductions cohérents pour bâtir une théorie mathématique "raisonnable" c'est à dire vérifiable par autrui a partir d'un schéma de calcul (notion de dérivabilité des énoncés).

 

A vrai dire le niveau d'abstraction de tels systèmes s'éloigne définitivement du sens commun et de la vision euclidienne de notre monde.

 

Bien plus ou bien pire , le mathématicien Kurt Goëdel a démontré , grâce aux notions probabilistes, que son théorème "l’incomplétude de Gödel" est beaucoup plus grave et incontournable que tout ce que l’on pouvait craindre:

 

Découvert en 1930, le théorème d’incomplétude de Gödel affirme qu’en définissant de façon raisonnable ce que sont les preuves mathématiques, alors certaines vérités mathématiques échappent nécessairement à ces preuves.

Le mot « raisonnable » correspond à trois exigences.

D’abord, on ne souhaite pas que les preuves conduisent à démontrer des affirmations contradictoires. Ensuite, on veut que les preuves permettent de démontrer les énoncés élémentaires vrais de l’arithmétique, par exemple que 25 est un carré, ou qu’il existe une infinité de nombres premiers. Enfin, si quelqu’un utilise cette définition des preuves pour démontrer un théorème, on exige que la preuve soit vérifiable sans risque d’erreur et d’une manière automatique. Ainsi, « raisonnable » pour un système de preuves signifie consistant, permettant de mener les raisonnements d’arithmétique élémentaire et mécanisable.

 

L’incomplétude démontrée par Gödel est avant tout une déception : elle affirme qu’avec une notion raisonnable de preuve mathématique, certaines vérités mathématiques ne pourront pas être prouvées :

tout système raisonnable de preuves possède des trous. À y regarder de près, l’incomplétude de Gödel affirme un peu plus que la présence d’un trou dans tout système de preuves imaginables, elle affirme une « incomplétabilité ».

Une conséquence directe du théorème de Gödel est qu’en ajoutant des vérités comme axiomes à l’aide d’un algorithme – qui éventuellement en ajoute progressivement une infinité –jamais on ne complète vraiment. Même après l’ajout, par un algorithme, d’une infinité d’axiomes à un système de preuves incomplet, le nouveau système de preuves obtenu, bien que plus complet, ne le sera pas totalement : il existera encore des énoncés mathématiques vrais qui ne seront pas démontrables avec la notion élargie de preuves.

 

Que se passe-t-il si l’on ajoute des axiomes au système que l’on veut compléter en utilisant le hasard ? Le hasard permettrait-il de compléter totalement ?

Concrètement, l’idée est d’utiliser des algorithmes probabilistes, c’est-à-dire des procédés de calcul qui, de temps en temps, décident de l’opération à effectuer en tirant au hasard un bit 0 ou 1,en lançant une pièce de monnaie par exemple.

La réponse à cette question subtile a été brillamment élucidée par Leonid Levin.

L. Levin a montré que même en utilisant un algorithme probabiliste, on ne réussit jamais à compléter un système raisonnable de preuves. C’est notre première leçon sur les rapports du hasard et de l’incomplétude : le hasard ne permet pas de boucher le trou de l’incomplétude.

 

Dans cet esprit, ce résultat d’incomplétabilité possède une forme étendue. Aucun système physique (même s’il fonctionne durant un temps infini) ne pourra compléter un système raisonnable de preuves : soit il donnera des contradictions, soit il laissera des trous. L.Levin conjecture un principe d’indépendance entre la physique et le monde mathématique s’appuyant sur une loi de conservation de l’information : aucun procédé physique ne crée de l’information avec suffisamment d’efficacité pour compléter un système incomplet. Pour lui, cette loi est aussi fondamentale que d’autres lois de conservation de la physique.

 

Cette seconde série de rapports entre probabilités et incomplétude aggrave ce que Gödel et L. Levin indiquaient sur la difficulté d’accès à la vérité mathématique.

Les résultats et conceptions de L. Levin impliquent que le monde des vérités mathématiques est inaccessible depuis notre monde réel, soumis aux lois de la physique qui ne nous permettront jamais autre chose que l’utilisation de systèmes gravement incomplets et impossibles à compléter. Les résultats découverts par C. Calude et ses collègues signifient, de plus, que ces systèmes incomplets dont nous sommes obligés de nous satisfaire ne donnent accès, dans chaque cas particulier, qu’à une partie infinitésimale du monde mathématique !

 

Le hasard et l’incomplétude sont deux formes différentes de l’ignorance forcée que la science moderne a dû admettre et qu’elle essaie de comprendre. Leurs liens sont puissants, nombreux et subtils. À chaque fois qu’on arrive à élucider un de ces liens, on découvre des formes renforcées du résultat de Gödel de 1930.

Le vieux théorème d’incomplétude, loin de décrire un innocent phénomène ne concernant les mathématiques que de loin comme cela a parfois été dit, se révèle, année après année, plus profond, plus grave et plus fondamental, en même temps qu’il nous force à revoir nos idées sur la nature réelle des mathématiques et de leurs rapports avec la physique.

Ce qui est incompréhensible, c’est que le monde soit compréhensible

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